Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是上R的偶函數(shù)，其圖象關于點M（

3π

4

，0）對稱，且在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調函數(shù)，求解析式．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)化簡f（-x）=f（x），得到-sinωxcosφ=sinωxcosφ對任意x都成立，從而得出cosφ=0，算出φ=

π

2

，可得f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx．根據(jù)函數(shù)f（x）圖象關于點M（

3π

4

，0）對稱，建立關于x的等式算出cos

3ωπ

4

=0，可得ω=

2

3

（2m+1）（m∈Z）．再由f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質加以討論可得ω=

2

3

或2，即可求出函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）對任意的x∈R成立，
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），可得-sinωxcosφ+cosωxsinφ=sinωxcosφ+cosωxsinφ，
化簡得-sinωxcosφ=sinωxcosφ，
上式對任意x都成立，結合ωx為任意實數(shù)，可得cosφ=0．
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，可得f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx
∵f（x）的圖象關于點M（

3π

4

，0）對稱，∴f（

3π

4

-x）=f（

3π

4

+x）對任意的x∈R成立，
取x=0得f（

3π

4

）=0，即cos

3ωπ

4

=0，
得

3ωπ

4

=

π

2

+mπ（k∈Z），解之得ω=

2

3

（2m+1）（m∈Z），
由于ω＞0，可得m為正實數(shù)．
當m=0時ω=

2

3

，可得f（x）=cos

2

3

x的減區(qū)間為[3kπ，

3π

2

+3kπ]（k∈Z），
可得函數(shù)在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，滿足題意；
當m=1時ω=2，可得f（x）=cos2x的減區(qū)間為[kπ，

π

2

+kπ]（k∈Z），在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，滿足題意；
當m≥2時ω≥

10

3

，f（x）=cosωx的減區(qū)間為[

2kπ

ω

，

π

ω

+

2kπ

ω

]，
由于

π

ω

≤

3π

10

，所以函數(shù)在區(qū)間[0，

π

2

]上不可能是單調函數(shù)．
綜上可得ω=

2

3

或2，
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=cos

2

3

x或f（x）=cos2x．

點評：本題給出正弦型三角函數(shù)的圖象滿足的條件，求函數(shù)的解析式．著重考查了函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的單調區(qū)間求法和函數(shù)圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．