Question

如圖，圓C：x²+y²-2x-8=0內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)p作直線(xiàn)l交圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫(xiě)出直線(xiàn)l方程；
（3）當(dāng)直線(xiàn)l傾斜角為45°時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1） 先求出直線(xiàn)l的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)直線(xiàn)的方程，并化為一般式．
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，由CP⊥AB，求得AB的斜率，用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程．
（3）用斜截式設(shè)出直線(xiàn)l的方程，點(diǎn)P坐標(biāo)代入，可得截距的值，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離，
由弦長(zhǎng)公式求|AB|，代入三角形的面積公式進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：（1）∵圓C：（x-1）²+y²=9，∴K_CP =

2-0

2-1

=2，
又∵點(diǎn)C（1，0）在直線(xiàn)上，∴l(xiāng)的方程為2x-y-2=0，
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，連CP，則CP⊥AB，
∵K_CP=2，K_AB=-

1

2

，∴l(xiāng)的方程為x+2y-6=0，
（3）∵直線(xiàn)l傾斜角為45°，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+b，∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，2=2+b，b=0，
∴l(xiāng)的方程為y-x=0，點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離為d=

|1-0|

2

=

2

2

，
由弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2

|CA|2-d2

=2

9- 1 2

=

34

，
∴三角形△ABC的面積是S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

34

•

2

2

=

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式、斜截式求直線(xiàn)的方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．