Question

【題目】已知a1=3，an=2an﹣1+（t+1）2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*）
（1）t=0，m=0時(shí)，求證： 是等差數(shù)列；
（2）t=﹣1，m= 是等比數(shù)列；
（3）t=0，m=1時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：t=0，m=0時(shí)，an=2an﹣1+2n，

兩邊同除以2n，可得 = +1，

即有 是首項(xiàng)為 ，公差為1的等差數(shù)列

（2）解：證明：t=﹣1，m= 時(shí)，an=2an﹣1+3，

兩邊同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3），

即有數(shù)列{an+3}為首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列

（3）解：t=0，m=1時(shí)，an=2an﹣1+2n+3，

兩邊同除以2n，可得 = +1+ ，

即為 = =1+ ，

即有得 = +（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）

= +1+ +1+ +…+1+ ，

=n﹣1+ =n+2﹣ ，

則an=（n+2）2n﹣3，

前n項(xiàng)和Sn=32+422+523+…+（n+2）2n﹣3n，

可令Rn=32+422+523+…+（n+2）2n，

2Rn=322+423+524+…+（n+2）2n+1，

兩式相減可得，﹣Rn=32+22+23+…+2n﹣（n+2）2n+1

=4+ ﹣（n+2）2n+1

=2﹣（n+1）2n+1，

則Rn═（n+1）2n+1﹣2，

Sn=（n+1）2n+1﹣2﹣3n

【解析】（1）兩邊同除以2n ， 由等差數(shù)列的定義，即可得證；（2）兩邊同加上3，由等比數(shù)列的定義，即可得證；（3）兩邊同除以2n ， 可得 = +1+ ，即為 = =1+ ，再由數(shù)列恒等式，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；再由錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．