Question

已知

OA

=(1，0)，

OC

=（-1，

3

），

CB

=（cosα，sinα），則

OA

與

OB

的夾角的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題知點(diǎn)B在以C（-1，

3

）為圓心，1為半徑的圓上，所以本題應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題，由圖來(lái)分析其夾角的最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵

OA

=(1，0)，

OB

=

OC

+

CB

=（-1，

3

）+（cosα，sinα）=（cosα-1，sinα+

3

），
令x=cosα-1，y=sinα+

3

，則有 （x+1）²+(y-

3

)2=1，
故點(diǎn)B在以C（-1，

3

）為圓心、半徑等于1的圓上，如圖：
直角三角形OCD中，sin∠COD=

OD

OC

=

1

2

，∴∠COD=

π

6

=∠COE．
故

OA

與

OB

的夾角的最小值為∠AOD=

π

2

，最大值為∠AOE=

π

2

+

π

6

+

π

6

=

5π

6

，
即

OA

與

OB

的夾角的取值范圍是[

π

2

，

5π

6

]，
故答案為：[

π

2

，

5π

6

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積與夾角，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的軌跡，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解，屬于中檔題．