Question

單位正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中(注：?jiǎn)挝徽�方體是指棱長(zhǎng)為1的正方體)，點(diǎn)Q是棱DD₁上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)試討論過A、Q、B₁三點(diǎn)的截面圖形的形狀；

(2)設(shè)D₁Q＝x，過A、Q、B₁三點(diǎn)的截面面積為S(x)，試求函數(shù)y＝S(x)的表達(dá)式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①當(dāng)點(diǎn)Q重合于點(diǎn)D1時(shí)，截面是正三角形，形狀如圖(1)所示； 　�、诋�(dāng)點(diǎn)Q重合于點(diǎn)D時(shí)，截面AB1Q(D)與平面CDD1C1有交線DC1，于是截面圖形為矩形DAB1C1，圖形如圖(2)所示； 　�、郛�(dāng)點(diǎn)Q在線段DD1之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AQ與A1D1相交，設(shè)交點(diǎn)為H，顯然HB1與D1C1也相交，設(shè)交點(diǎn)為R，則截面圖形為梯形AB1RQ，圖形如圖(3)所示． 　　(2)①當(dāng)x＝0，即Q重合于點(diǎn)D1時(shí)，截面如圖(1)所示． 　　S(0)＝； 　�、诋�(dāng)x＝1，即Q重合于點(diǎn)D時(shí)，截面如圖(2)所示． 　　S(1)＝＝DA×AB1＝； 　　③當(dāng)0＜x＜1時(shí)，易知截面圖形是一個(gè)等腰梯形．截面如圖(3)所示． 　　∵D1Q∥A1A， 　　∴． 　　∴． 　　在等腰△HAB1中，取AB1的中點(diǎn)G，連結(jié)HG，則HG為等腰△HAB1底邊上的高． 　　∵AB1＝，， 　　， 　　∴． 　　又△HQR∽△HAB1，且HQ∶HA＝x∶1， 　　∴S△HQR＝x2·． 　　∴S(x)＝－S△HQR＝(1＋x)． 　　上述式子中，當(dāng)x＝0時(shí)，；當(dāng)x＝1時(shí)，S＝． 　　故S(x)＝(1＋x)(0≤x≤1)． 　　注意：以下幾點(diǎn)值得我們重視： 　　(1)作截面時(shí)，要注意截面的完整性，應(yīng)畫出截面與正方體各面所在平面的交線．確定兩個(gè)平面的交線，關(guān)鍵在于確定兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線就是兩個(gè)平面的交線． 　　(2)本題中求截面圖形的面積問題，基于第(1)問的正確求解．在分三種情形求出各自的面積后，應(yīng)檢查兩個(gè)特例的情形滿足一般的情形，也就是應(yīng)將結(jié)果統(tǒng)一表示，而不是用分段函數(shù)來表示． 　　(3)在本例的解答中，計(jì)算△HQR的面積時(shí)，利用了“相似三角形的面積比等于相似比的平方”的結(jié)論，這樣實(shí)現(xiàn)了快速簡(jiǎn)捷的解題．解立體幾何計(jì)算問題，離不開平面幾何作為基礎(chǔ)．把空間圖形投影到平面上，或是畫出某個(gè)截面圖，都是由空間向平面的轉(zhuǎn)化，都是通過圖形的直觀性并利用平面幾何中的相關(guān)知識(shí)解決問題． 　　(4)平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，借助這些性質(zhì)可以很好地研究平面截多面體所得圖形的形狀與性質(zhì)．