Question

15．某地植被面積 x（公頃）與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)y（°C）之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

x（公頃）	20	40	50	60	80
y（°C）	3	4	4	4	5

（1）請用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）根據(jù)（1）中所求線性回歸方程，如果植被面積為200公頃，那么下降的氣溫大約是多少℃？
（附：回歸方程系數(shù)公式$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸方程的系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出線性回歸方程；
（2）利用回歸直線方程求出x=200時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（20+40+50+60+80）=50，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（3+4+4+4+5）=4，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=20²+40²+50²+60²+80²=14500；
則回歸方程系數(shù)為
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1060-5×50×4}{14500-5{×50}^{2}}$=0.03，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=4-0.03×50=2.5，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.03x+2.5；
（2）由（1）得：當(dāng)x=200時，$\stackrel{∧}{y}$=0.03×200+2.5=8.5，
即如果植被面積為200公頃，那么下降的氣溫大約是8.5℃．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．