Question

19．實(shí)驗(yàn)杯足球賽采用七人制淘汰賽規(guī)則，某場比賽中一班與二班在常規(guī)時(shí)間內(nèi)戰(zhàn)平，直接進(jìn)入點(diǎn)球決勝環(huán)節(jié)，在點(diǎn)球決勝環(huán)節(jié)中，雙方首先輪流罰點(diǎn)球三輪，罰中更多點(diǎn)球的球隊(duì)獲勝；若雙方在三輪罰球中未分勝負(fù)，則需要進(jìn)行一對(duì)一的點(diǎn)球決勝，即雙方各派出一名隊(duì)員罰點(diǎn)球，直至分出勝負(fù)；在前三輪罰球中，若某一時(shí)刻勝負(fù)已分，尚未出場的隊(duì)員無需出場罰球（例如一班在先罰球的情況下，一班前兩輪均命中，二班前兩輪未能命中，則一班、二班的第三位同學(xué)無需出場），由于一班同學(xué)平時(shí)踢球熱情較高，每位隊(duì)員罰點(diǎn)球的命中率都能達(dá)到0.8，而二班隊(duì)員的點(diǎn)球命中率只有0.5，比賽時(shí)通過抽簽決定一班在每一輪都先罰球．
（1）定義事件A為“一班第三位同學(xué)沒能出場罰球”，求事件A發(fā)生的概率；
（2）若兩隊(duì)在前三輪點(diǎn)球結(jié)束后打平，則進(jìn)入一對(duì)一點(diǎn)球決勝，一對(duì)一點(diǎn)球決勝由沒有在之前點(diǎn)球大戰(zhàn)中出場過的隊(duì)員主罰點(diǎn)球，若在一對(duì)一點(diǎn)球決勝的某一輪中，某隊(duì)隊(duì)員射入點(diǎn)球且另一隊(duì)隊(duì)員未能射入，則比賽結(jié)束；若兩名隊(duì)員均射入或者均射失點(diǎn)球，則進(jìn)行下一輪比賽．若直至雙方場上每名隊(duì)員都已經(jīng)出場罰球，則比賽亦結(jié)束，雙方用過抽簽決定勝負(fù)，以隨機(jī)變量X記錄雙方進(jìn)行一對(duì)一點(diǎn)球決勝的輪數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，計(jì)算一班第三位同學(xué)沒能出場罰球的概率值；
（2）根據(jù)題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出隨機(jī)變量X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）定義事件A為“一班第三位同學(xué)沒能出場罰球”，
則事件A發(fā)生的概率為
P（A）=0.8×0.5×0.8×0.5+0.2×0.5×0.2×0.5=0.17；
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4；
計(jì)算P（X=1）=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5，
P（X=2）=（1-P（X=1））×P（X=1）=0.25，
P（X=3）=（1-P（X=1））²×P（X=1）=0.125，
P（X=4）=（1-P（X=1））³=0.125；
所以隨機(jī)變量X的分布列是：

X	1	2	3	4
P（X）	0.5	0.25	0.125	0.125

數(shù)學(xué)期望是E（X）=1×0.5+2×0.25+3×0.125+4×0.125=1.875（輪）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．