Question

17．有下列敘述：
①若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow$=（-2，6），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則k=-3；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
③已知f（x）是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，若a，b是任意的實數(shù)，都有f（a•b）=f（a）+f（b），則y=f（x）的偶函數(shù)；
④函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是減函數(shù)；
⑤已知A和B是單位圓O上的兩點，∠AOB=$\frac{2}{3}$π，點C在劣弧$\widehat{AB}$上，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中，x，y∈R，則x+y的最大值是2；
以上敘述正確的序號是①③⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式進行求解判斷．
②根據(jù)角的終邊的性質(zhì)進行判斷．
③根據(jù)抽象函數(shù)的定義和奇偶性的定義進行判斷．
④根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．
⑤根據(jù)平面向量的基本定理進行判斷．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow$=（-2，6），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則-2k-6=0得k=-3，故①正確；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，故②錯誤；
③令a=2，b=1，則f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，
令a=-1，b=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，則f（-1）=0，
令b=-1，代入上式，
∴f（-a）=f（-1）+f（a）=f（a），
∴f（x）是偶函數(shù)．故③正確；
④函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx在[0，π]上是增函數(shù)，故④錯誤；
⑤由已知條件知：${\overrightarrow{OC}}^{2}=1=（x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}）^{2}$=${x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
∴（x+y）²-1=3xy，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，容易判斷出x，y＞0，
∴$x+y≥2\sqrt{xy}$，∴$xy≤\frac{（x+y）^{2}}{4}$；
∴$（x+y）^{2}-1≤\frac{3}{4}（x+y）^{2}$，∴（x+y）²≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值為2．故⑤正確，
故答案為：①③⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及平面向量的基本內(nèi)容以及三角函數(shù)，函數(shù)奇偶性的判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．