Question

己知圓C₁的參數(shù)方程為

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）．
（Ⅰ）將圓C₁的參數(shù)方程他為普通方程，將圓C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）圓C₁，C₂是否相交，若相交，請求出公共弦的長；若不相交，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）利用sin²φ+cos²φ=1即可把圓C₁的參數(shù)方程

x=cosφ y=sinφ

，化為直角坐標(biāo)方程．
（II）由x²+y²=1，x²+y²=2x+2y．可得兩圓的相交弦所在的直線方程為2x+2y=1．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心（0，0）到此直線的距離d，即可得出弦長|AB|=2

1-d2

．

解答： 解：（I）由圓C₁的參數(shù)方程

x=cosφ y=sinφ

，
消去參數(shù)φ可得：x²+y²=1．
由圓C₂的極坐標(biāo)方程ρ=2

2

cos（θ-

π

4

），化為ρ2=2

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)•ρ，
∴x²+y²=2x+2y．即（x-1）²+（y-1）²=2．
（II）由x²+y²=1，x²+y²=2x+2y．可得兩圓的相交弦所在的直線方程為2x+2y=1．
圓心（0，0）到此直線的距離d=

|0+0-1|

22+22

=

2

4

．
∴弦長|AB|=2

1-( 2 4 )2

=

14

2

．

點(diǎn)評：本題考查了曲線的參數(shù)方程極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、兩圓的相交弦長、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．