Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）當a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=4時，若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點，求m的取值范圍；
（3）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x）當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，請你探究當a=4時，函數(shù)y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)f′（x），當a＞2時在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．
（2）數(shù)形結合：當a=4時，用導數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值，畫出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．
（3）當a=4時，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=h（x）=(2x0+

4

x0

-6)x-x02+4lnx0-4．由此能推導出y=f（x）存在“類對稱點”，

2

是一個“類對稱點”的橫坐標．

解答： 解：（1）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx可知，函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，且f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

．
因為a＞2，所以

a

2

＞1．
當0＜x＜1或x＞

a

2

時，f'（x）＞0；當1＜x＜

a

2

時，f'（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(

a

2

，+∞)．
（2）當a=4時，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x

．
所以，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	f（x）取極大值	單調(diào)遞減	f（x）取極小值	單調(diào)遞增

所以f(x)極大值=f(1)=12-6×1+4ln1=-5，
f(x)極小值=f(2)=22-6×2+4ln2=4ln2-8．
結合函數(shù)f（x）的圖象，所以若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點，則m∈（4ln2-8，-5）．
（3）由題意，當a=4時，f′(x)=2x+

4

x

-6，
則在點P處切線的斜率k_切=f/(x0)=2x0+

4

x0

-6．
所以切線方程為y=g(x)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+

x

2 0

-6x0+4lnx0=(2x0+

4

x0

-6)x-x02+4lnx0-4．
φ(x)=f(x)-g(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)-(

x

2 0

-6x0+4lnx0)，
則φ（x₀）=0，φ′(x)=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6)=2(x-x0)(1-

2

x0x

)=

2

x0

(x-x0)(x0-

2

x

)．
當x0＜

2

時，φ（x）在(x0，

2

x0

)上單調(diào)遞減，所以當x∈(x0，

2

x0

)時，φ（x）＜φ（x₀）=0．從而有x∈(x0，

2

x0

)時，

ϕ(x)

x-x0

＜0；
當x0＞

2

時，φ（x）在(

2

x0

，x0)上單調(diào)遞減，所以當x∈(

2

x0

，x0)時，φ（x）＞φ（x₀）=0．從而有x∈(

2

x0

，x0)時，

φ(x)

x-x0

＜0；
所以在(0，

2

)∪(

2

，+∞)上不存在“類對稱點”．
當x0=

2

時，φ′(x)=

2

x

(x-

2

)2，
所以φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故

φ(x)

x-x0

＞0．
所以x=

2

是一個類對稱點的橫坐標．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，此題是難題．．