Question

求函數(shù)y=sin2x-2asinx+2acosx的最大值和最小值．

Answer 1

分析：設t=sinx-cosx，y=f （t）=-（t+a）²+a²+1，（|t|≤

2

），分|a|＞

2

和|a|≤

2

兩種情況，分別求出函數(shù)y的
最大值和最小值．

解答：解：設t=sinx-cosx （-

2

≤t≤

2

），∴sin2x=1-t²，
y=f （t）=-t²-2at+1=-（t+a）²+a²+1，（|t|≤

2

），對稱軸為 t=-a．
①當|a|＞

2

時，y_max =-（

2

-|a|）²+a²+1=2

2

|a|-1，y_min=-（

2

+|a|）²+a²+1=-2

2

|a|-1．
②當|a|≤

2

時，y_max=a²+1，
若-

2

≤a≤0，y_min=-（-

2

+a）²+a²+1=2

2

a-1．若

2

≥a＞0，y_min=-（

2

+a）²+a²+1=-2

2

a-1．
即 y_min=-2

2

|a|-1．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的最值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，得到
y=f （t）=-t²-2at+1，是解題的關鍵．