Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)k＝2時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1,0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，＋∞）；當(dāng),f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1,0）和（，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）．

當(dāng),f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1，＋∞）；當(dāng)時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1，）和（0，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（，0）

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：解（1）當(dāng)k＝2時(shí)，f（x）＝（1＋x）－x＋x2，f′（x）＝－1＋2x．

由于f（1）＝，f′（1）＝，

所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y－＝ （x－1），即3x－2y＋2ln 2－3＝0．

（2），x∈（－1，＋∞）．

當(dāng)k＝0時(shí)，f′（x）＝－．所以，在區(qū)間（－1,0）上，f′（x）>0；在區(qū)間（0，＋∞）上，f′（x）<0．

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1,0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，＋∞）．

當(dāng)0<k<1時(shí)，由，得x1＝0，x2＝>0．

所以，在區(qū)間（－1,0）和（，＋∞）上，f′（x）>0；在區(qū)間（0，）上，f′（x）<0．

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1,0）和（，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）．

當(dāng)k＝1時(shí)，f′（x）＝．故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1，＋∞）．

當(dāng)k>1時(shí)，由＝0，得x1＝∈（－1,0），x2＝0．

所以，在區(qū)間（－1，）和（0，＋∞）上，f′（x）>0；在區(qū)間（，0）上，f′（x）<0．

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1，）和（0，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（，0）．

考點(diǎn)：（1）求切線的斜率；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.