【題目】設,
.
(Ⅰ)當時,求曲線
在
處的切線的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得
成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)
;
(Ⅲ)如果對任意的,都有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:本題考查導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎知識,考查函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想,考查綜合分析和解決問題的能力.第一問,將代入得到
解析式,求
將
代入得到切線的斜率,再將
代入到
中得到切點的縱坐標,利用點斜式求出切線方程;第二問,先將問題轉(zhuǎn)化為
,進一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)
的最大值和最小值問題,對
求導,通過畫表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值,求出最值代入即可;第三問,結(jié)合第二問的結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化為
恒成立,進一步轉(zhuǎn)化為
恒成立,設出新函數(shù)
,求
的最大值,所以
即可.
試題解析:(1)當時,
,
,
,
,
所以曲線在
處的切線方程為
; 2分
(2)存在,使得
成立等價于:
,
考察,
,
遞減 | 極小值 | 遞增 |
由上表可知:,
,
所以滿足條件的最大整數(shù); 7分
(3)當時,
恒成立等價于
恒成立,
記,
,
,
記,
,由于
,
,所以
在
上遞減,
當時,
,
時,
,
即函數(shù)在區(qū)間
上遞增,在區(qū)間
上遞減,
所以,所以
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某地參加2015 年夏令營的名學生的身體健康情況,將學生編號為
,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為
的樣本,且抽到的最小號碼為
,已知這
名學生分住在三個營區(qū),從
到
在第一營區(qū),從
到
在第二營區(qū),從
到
在第三營區(qū),則第一、第二、第三營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓
相交于
兩點.
(1)若橢圓的離心率為,焦距為
,求線段
的長;
(2)若向量與向量
互相垂直(其中
為坐標原點),當橢圓的離心率
時,求橢圓長軸長的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,橢圓上任意一點到右焦點
的距離的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點是線段
上異于
的一個定點(
為坐標原點),是否存在過點
且與
軸不垂直的直線
與橢圓交于
兩點,使得
,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右焦點分別為
,過點
作垂直于
軸的直線
,直線
垂直
于點
,線段
的垂直平分線交
于點
.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線
,且分別交橢圓于
,求四邊形
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知動直線過點
,且與圓
交于
、
兩點.
(1)若直線的斜率為
,求
的面積;
(2)若直線的斜率為
,點
是圓
上任意一點,求
的取值范圍;
(3)是否存在一個定點(不同于點
),對于任意不與
軸重合的直線
,都有
平分
,若存在,求出定點
的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校從高二年級學生中隨機抽取50名學生,將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)若該校高二年級共有學生1000人,試估計成績不低于60分的人數(shù);
(2)求該校高二年級全體學生期中考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的估計值.
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