Question

17．y=$\frac{3+x+{x}^{2}}{1+x}$（x＞-1）的最小值是2$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由題意可得t=x+1＞0，x=t-1，換元可得y=t+$\frac{3}{t}$-1，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞-1，∴t=x+1＞0，解得x=t-1，
換元可得y=$\frac{3+x+{x}^{2}}{1+x}$=$\frac{{t}^{2}-t+3}{t}$=t+$\frac{3}{t}$-1
≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$-1=2$\sqrt{3}$-1
當且僅當t=$\frac{3}{t}$即t=$\sqrt{3}$即x=$\sqrt{3}$-1時取等號，
故答案為：2$\sqrt{3}$-1

點評 本題考查基本不等式，換元并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．