Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)a₁，a₂，…，a_n（n∈N*）組成集合A_n={a₁，a₂，…，a_n}，從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T_k（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如：對(duì)于數(shù)列{2n-1}，當(dāng)n=1時(shí)，A₁={1}，T₁=1；n=2時(shí)，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1•3；
（1）若集合A_n={1，3，5，…，2n-1}，求當(dāng)n=3時(shí)，T₁，T₂，T₃的值；
（2）若集合A_n={1，3，7，…，2ⁿ-1}，證明：n=k時(shí)集合A_k的T_m與n=k+1時(shí)集合A_k+1的T_m（為了以示區(qū)別，用T_m′表示）有關(guān)系式T_m′=（2^k+1-1）T_m-1+T_m，其中m，k∈N*，2≤m≤k；
（3）對(duì)于（2）中集合A_n．定義S_n=T₁+T₂+…+T_n，求S_n（用n表示）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=3時(shí)，A₃={1，3，7}，由定義可得：T₁，T₂，T₃的值．
（2）當(dāng)n=k+1時(shí)，集合A_k+1有k+1個(gè)元素，比n=k時(shí)的集合A_k多了一個(gè)元素：a_k+1=2^k+1-1．對(duì)應(yīng)的${T}_{m}^{′}$包含兩個(gè)部分：（i）若${T}_{m}^{′}$中不含a_k+1，則${T}_{m}^{′}$中的任何一項(xiàng)恰好為n=k時(shí)集合A_k的對(duì)應(yīng)的T_m中的一項(xiàng)．（ii）若${T}_{m}^{′}$中含a_k+1的任何一項(xiàng)，除了a_k+1，其余的m-1個(gè)數(shù)均來(lái)自集合A_k，這m-1個(gè)數(shù)的乘積恰好為集合A_k所對(duì)應(yīng)的T_m-1中的一項(xiàng)．即可證明．
（3）由S₁=1=2¹-1=1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，猜想 S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 （1）解：當(dāng)n=3時(shí)，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21．
（2）證明：當(dāng)n=k+1時(shí)，集合A_k+1有k+1個(gè)元素，比n=k時(shí)的集合A_k多了一個(gè)元素：a_k+1=2^k+1-1．∴對(duì)應(yīng)的${T}_{m}^{′}$包含兩個(gè)部分：（i）若${T}_{m}^{′}$中不含a_k+1，則${T}_{m}^{′}$中的任何一項(xiàng)恰好為n=k時(shí)集合A_k的對(duì)應(yīng)的T_m中的一項(xiàng)．
（ii）若${T}_{m}^{′}$中含a_k+1的任何一項(xiàng)，除了a_k+1，其余的m-1個(gè)數(shù)均來(lái)自集合A_k，這m-1個(gè)數(shù)的乘積恰好為集合A_k所對(duì)應(yīng)的T_m-1中的一項(xiàng)．
∴有關(guān)系式T_m′=（2^k+1-1）T_m-1+T_m，其中m，k∈N*，2≤m≤k．
（3）解：由S₁=1=2¹-1=1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，
猜想 S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．下面證明：
（i）易知n=1時(shí)成立．
（ii）假設(shè)n=k時(shí)，S_n=S_k=${2}^{\frac{k（k+1）}{2}}$-1，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]
（其中T_i′，i=1，2，…，k，為n=k時(shí)可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T_k），
=（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k =${2}^{k+1}（{2}^{\frac{k（k+1）}{2}}-1）$+（2^k+1-1）
=${2}^{\frac{（k+1）（k+2）}{2}}$-1，
即n=k+1時(shí)，S_k+1═${2}^{\frac{（k+1）（k+2）}{2}}$-1也成立，
綜合（i）（ii）知對(duì)n∈N^*，S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1成立．
∴S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的性質(zhì)、數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．