Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）求S_n；
（3）設(shè)b_n=（2n+1）an2，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，即可求出S₁，S₂，S₃；
（2）猜想：Sn=-

n

n+1

．用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意解題步驟第二步與第三步的運(yùn)用；
（3）求出b_n，并寫成兩項(xiàng)的差，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，即可得證．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1+

1

S1

+2=S1，
∴S1=-

1

2

，
當(dāng)n＞1時(shí)，Sn+

1

Sn

+2=Sn-Sn-1，
∴Sn=-

1

2+Sn-1

，
∴S2=-

2

3

，S3=-

3

4

．                           
（2）猜想：Sn=-

n

n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1，S1=-

1

2

顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即Sk=-

k

k+1

，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=-

1

2+Sk

=-

1

2- k k+1

=-

k+1

k+2

，
即n=k+1時(shí)命題也成立，
綜上可知，Sn=-

n

n+1

．                           
（3）由（2）知an=Sn+

1

Sn

+2=-

1

n(n+1)

，
∴bn=(2n+1)an2=

2n+1

n2(n+1)2

=

(n+1)2-n2

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴b1+b2+…+bn=

1

12

-

1

22

+

1

22

-

1

32

+…+

1

n2

-

1

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．