Question

已知數(shù)列{a_n}中，，且前n項和為S_n滿足．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并歸納出a_n的通項公式；
（2）由（1）問結論，用反證法證明不等式：a_n＞a_n+1．

Answer 1

解：（1）由得：
當n=2時，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂，∴．
當n=3時，S₃=9a₃，即a₁+a₂+a₃=9a₃，．
當n=4時，S₄=16a₄，即a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，．
歸納出：．
（2）假設a_n≤a_n+1，則有，即 ，
由此解得 n+2≤n，即2≤0，矛盾．
∴假設不成立，故 a_n＞a_n+1成立，不等式得證．
分析：（1）由，分別令n等于2，3，4，即可得到數(shù)列的前4項，由此歸納出{a_n}的通項公式．
（2）假設a_n≤a_n+1，則由{a_n}的通項公式，即，即n+2≤n，即2≤0矛盾，從而證得a_n＞a_n+1 成立．
點評：本題主要考查用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的前幾項，用反證法和放縮法證明數(shù)學命題，掌握好放縮的程度，是解題的難點，屬于中檔題．