Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，列出關(guān)于等差數(shù)列{a_n}的首項與公差的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，利用裂項法可求得

1

Sn

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），從而可求得數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和為T_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列且s₅=70，
∴5a₁+10d=70．①
∵a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列，
∴a72=a₂•a₂₂，即(a1+6d)2=（a₁+d）（a₁+21d）．②
由①，②解得a₁=6，d=4或a₁=14，d=0（舍去）．
∴a_n=4n+2．
（2）證明；由（1）得S_n=2n²+4n，
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn-1

+

1

Sn

=

1

4

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

3

8

-

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，突出裂項法求和的考查，屬于中檔題．