Question

【題目】已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）.

（1）如果函數(shù)和有相同的極值點，求的值；

（2）當，恒成立，求的取值范圍；

（3）記函數(shù)，若函數(shù)有個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）（3）

【解析】

（1）利用導數(shù)求極值點可得結(jié)果.

（2）利用等價轉(zhuǎn)換的思想，構(gòu)造新的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.

（3）根據(jù)等價轉(zhuǎn)換的思想，利用導數(shù)分別研究的單調(diào)性，結(jié)合分類討論的思想判斷根的情況，最后作出檢驗可得結(jié)果.

（1），

則，

令，得或，而

在處有極大值，∴，

或；綜上：或.

（2）由已知得在上恒成立

等價于在上恒成立，

令，

①若，即時，恒成立

②若，即或時，，得

綜上

（3）由題意有有3個不同的實根.

有2個不同的實根，且這2個實根兩兩不相等.

（1）有個不同的實根，

只需滿足或

（2）有3個不同的實根，

1*當即時，

在上為增函數(shù)，

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

在處取得最大值，

即，不符合題意，舍；

2*當即時，不符合題意，舍；

3*當即時，

在上為增函數(shù)，

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

在處取得極大值，

；所以

因為（i）（ii）要同時滿足，

故，（注：也對）

下證：這5個實根兩兩不相等，

即證：不存在使得，

在同時成立；

若存在使得

由，

即，

得

當時，，不符合，舍去；

當時，即存①；

又由，即②；

聯(lián)立①②式，可得；

當時，

便有5個不同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等.

綜上，當時，函數(shù)有5個不同的零點.