Question

20．已知圓心為C的圓滿(mǎn)足下列條件：圓心C位于x軸上，與直線x-y+1=0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C：（x-a）²+y²=r²，由題意直線x-y+1=0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2，列出方程組，即可求解圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為：x=0，不滿(mǎn)足題意．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，通過(guò)韋達(dá)定理，結(jié)合平行四邊形OADB，假設(shè)$\overrightarrow{OD}$∥$\overrightarrow{MC}$，解得k=$\frac{3}{4}$，推出結(jié)果．

解答 解�。�1）設(shè)圓C：（x-a）²+y²=r²，由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{|{a+1}|}}{{\sqrt{2}}}=r}\\{\sqrt{{a^2}+1}=r}\end{array}}\right.$
解得a=1，r=$\sqrt{2}$∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+y²=2．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為：x=0，不滿(mǎn)足題意．
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$消去y得：（1+k²）x²+（6k-2）x+8=0，
∴△=（6k-2）²-32（1+k²）=4（k²-6k-7）＞0，
解得k＜-1或k＞7，
x₁+x₂=-$\frac{6k-2}{1+{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=$\frac{2k+6}{1+{k}^{2}}$，
在平行四邊形OADB中，$\overrightarrow{OD}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=（x₁+x₂，y₁+y₂），$\overrightarrow{MC}$=（1，-3），
假設(shè)$\overrightarrow{OD}$∥$\overrightarrow{MC}$，則-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，∴3×$\frac{6k-1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2k+6}{1+{k}^{2}}$，解得k=$\frac{3}{4}$
但$\frac{3}{4}$∉（-∞，-1）∪（7，+∞），假設(shè)不成立．
∴不存在這樣的直線l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，存在性問(wèn)題的判斷方法，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．