Question

9．如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求銳二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PC⊥平面ABC，然后證明平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系C-xyz，求出相關點的坐標，設P（0，0，z₀）（z₀＞0），則M（0，1，z₀），直線AM與直線PC所成的解為60°，解得z₀=1．求出平面MAC的一個法向量，平面ABC的法向量，利用空間向量的數量積求解二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）因為PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B；
所以PC⊥平面ABC．           …（2分）
又因為PC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面ABC…（4分）
（Ⅱ）在平面ABC內，過C作Cx⊥CB，
建立空間直角坐標系C-xyz（如圖）…（5分）

由題意有C（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
設P（0，0，z₀）（z₀＞0），則M（0，1，z₀），$\overrightarrow{AM}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，{z_0}）$，
$\overrightarrow{CP}$=（0，0，z₀）．  …（7分）
由直線AM與直線PC所成的解為60°得
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CP}$=|$\overrightarrow{AM}$||$\overrightarrow{CP}$|cos60°，z₀²=$\sqrt{3+{{z}_{0}}^{2}}•{z}_{0}$$•\frac{1}{2}$，
解得z₀=1．   …（9分）
所以$\overrightarrow{CM}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{CA}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，0）$
設平面MAC的一個法向量為$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CM}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CA}=0\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{z_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}-\frac{1}{2}{y_1}=0\end{array}\right.$．
取x₁=1，得$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$．       …（10分）
平面ABC的法向量取為$\overrightarrow m=（0，0，1）$…（11分）
設$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$所成的角為θ，則$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
因為二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．     …（12分）

點評 本題考查空間向量的數量積的應用，二面角的平面角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．