Question

11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且acosB=4，bsinA=3．
（Ⅰ）求tanB及邊長(zhǎng)a的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=9，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，利用正弦定理即可求出tanB及邊長(zhǎng)a的值．
（Ⅱ）△ABC的面積S=9，由余弦定理及三角形的面積公式建立方程組求解a，b，c，可得△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，
由$\left\{\begin{array}{l}{acosB=4}\\{bsinA=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2RsinBsinA=3}\\{2RsinAcosB=4}\end{array}\right.$
得tanB=$\frac{3}{4}$，
可得：sinB=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$
∴a=5．
（Ⅱ）由余弦定理及三角形的面積公式得$\left\{\begin{array}{l}{^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}\\{\frac{1}{2}acsinB=9}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{^{2}=25+{c}^{2}-8c}\\{\frac{3}{2}c=9}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{13}}\\{c=6}\end{array}\right.$
∴a+b+c=11$+\sqrt{13}$，
即△ABC的周長(zhǎng)為$11+\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．