已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x+2
3
sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（α）=2，且α∈[
π
4
，
π
2
]，求α的值．
分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式，二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 2sin（2x+
π
6
）+1，由此求得函數(shù)的最小正周期及最小值．
（2）由f（α）=2，求得sin(2α+
π
6
)=
1
2
，再由α∈[
π
4
，
π
2
]求出2α+
π
6
=
5
6
π，從而求出α的值．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x+2
3
sinxcosx+1=cos2x+
3
sin2x+1=2sin（2x+
π
6
）+1，…（5分）
因此，f（x）的最小正周期為π，最小值為-2+1=-1．…..（7分）
（2）由f（α）=2 得2sin(2α+
π
6
)+1=2，即sin(2α+
π
6
)=
1
2
．…（9分）
而由α∈[
π
4
，
π
2
]得2α+
π
6
∈[
2
3
π，
7
6
π]，…..（10分）
故 2α+
π
6
=
5
6
π，…..（11分）
解得α=
π
3
．…..（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式，二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C、的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=
3
，f（C）=0，若向量
m
=(1， sinA)與向量
n
=(2，sinB)共線，求a，b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，設(shè)F（x）=x2•f（x），則F（x）是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-1，x≤0
ln(x+1)，x＞0
，若|f（x）|≥ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(c-1)2x，(x≥1)
(4-c)x+3，(x＜1)
的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2-ax+5，x＜1
1+
1
x
，x≥1
在定義域R上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案