Question

如圖,在長方體?ABCD—A₁B₁C₁D₁中,?AB=AA₁=a,BC=,M是AD的中點,N是B₁C₁的中點.

(1)求證:A₁、M、C、N四點共面;

(2)求證:BD₁⊥CM;

(3)求A₁B和平面A₁MCN所成角的大小.

Answer 1

(1)證明:如圖,取BC的中點E,可證AECM是平行四邊形;

AENA₁也是平行四邊形;由CM∥AE∥A₁N,可證A₁、M、C、N四點共面.

(2)證明:連結(jié)BD,

在Rt△CDM和Rt△BCD中,,

∴Rt△CDM∽Rt△BCD,可證BD⊥CM,

∵BD是BD₁在底面ABCD上的射影,

∴BD₁⊥CM.

(3)解:連結(jié)BC₁,同樣可以證明BC₁⊥CN.

∵BC₁是BD₁在側(cè)面BCC₁B₁上的射影,

∴BD₁⊥CN.

∵CN∩CM=C,

∴BD₁⊥平面A₁MCN.

連結(jié)A₁C,交BD₁于F,則A₁F是A₁B在平面A₁MCN上的射影,則∠BA₁F即是A₁B和平面A₁MCN所成的角,

∵tan∠BA₁C=.∴∠BA₁F=45°.