Question

選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知點(diǎn)P（1+cosα，sinα），參數(shù)α∈[0，π]，點(diǎn)Q在曲線C：上．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程和曲線的直角坐標(biāo)方程：
（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有 ，消去參數(shù)α，可得：（x-1）²+y²=1．
由于α∈[0，π]，∴y≥0，故點(diǎn)P的軌跡是上半圓：（x-1）²+y²=1（y≥0）．
∵曲線C：，即 10=（sinθ-cosθ），
即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲線C的直角坐標(biāo)方程：x-y+10=0．
（2）如圖所示：由題意可得點(diǎn)Q在直線x-y+10=0 上，點(diǎn)P在半圓上，
半圓的圓心C（1，0）到直線x-y+10=0的距離等于 =．
即|PQ|的最小值為 ．

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有 ，消去參數(shù)α，得到點(diǎn)P的軌跡方程．曲線C 的極坐標(biāo)方程即
10=（sinθ-cosθ），依據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）如圖，由題意可得點(diǎn)Q在直線x-y+10=0 上，點(diǎn)P在半圓上，求出半圓的圓心C到直線的距離，將此距離減去半徑1，
即為所求．
點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．