Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）（x∈R）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（α-$\frac{π}{3}$）=2，α∈[$\frac{π}{2}$，π]，求sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合數(shù)量積公式得到f（x），再由倍角公式及兩角和的正弦化簡得答案；
（2）由f（α-$\frac{π}{3}$）=2列式求得cos（$2α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，由α得范圍求得$2α+\frac{π}{6}$的范圍，再由平方關(guān)系求得sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos²x+$\sqrt{3}sin2x$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）f（α-$\frac{π}{3}$）=2sin（2$α-\frac{2π}{3}+\frac{π}{3}$）+1=2sin（2α-$\frac{π}{3}$）+1=2，
∴sin（2α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
則sin（$\frac{π}{3}-2α$）=-$\frac{1}{2}$，即cos（$2α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴$2α+\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}，\frac{13π}{6}$]，
則sin（2α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}=-\sqrt{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)的倍角公式的應(yīng)用，是中檔題．