Question

8．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）直線D₁C與平面AC所成的角；
（2）直線D₁B與平面AC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由D₁D⊥平面ABCD，D是垂足，得∠DCD₁是直線D₁C與平面ABC所成角，由此能求出直線D₁C與平面ABC所成角的大小．
（2）根據(jù)正方體的邊和面的關(guān)系，連接BD，從而∠D₁BD為D₁B和平面ABCD所成的角，可設(shè)正方體的邊長為1，這樣在Rt△BDD₁中求出cos∠D₁BD即可．

解答 解：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵D₁D⊥平面ABCD，D是垂足，
∴∠DCD₁是直線D₁C與平面ABC所成角，
∵DD₁⊥DC，且DD₁=DC，
∴∠DCD₁=45°．
∴直線D₁C與平面ABC所成角的大小等于45°．
（2）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接BD，DD₁⊥平面ABCD，
則：∠D₁BD為直線D₁B和平面ABCD所成角；
設(shè)正方體的邊長為1，則D₁B=$\sqrt{3}$
∴cos∠D₁BD=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的大小的求法，考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，作圖能力，是基礎(chǔ)題．