(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐中,為矩形,平面平面.
求證:
若問為何值時,四棱錐的體積最大?并求此時平面與平面夾角的余弦值.
(1)詳見解析,(2)時,四棱錐的體積P-ABCD最大. 平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為
解析試題分析:(1)先將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直:ABCD為矩形,故ABAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,再根據(jù)線面垂直證線線垂直:因?yàn)镻D平面PAD,所以ABPD
(2)求四棱錐體積,關(guān)鍵要作出高.這可利用面面垂直性質(zhì)定理:過P作AD的垂線,垂足為O,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD,下面用表示高及底面積:設(shè),則,故四棱錐P-ABCD的體積為
故當(dāng)時,即時,四棱錐的體積P-ABCD最大.
求二面角的余弦值,可利用空間向量求解,根據(jù)題意可建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量,再利用向量數(shù)量積求夾角余弦值即可.
試題解析:(1)證明:ABCD為矩形,故ABAD,
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD,因?yàn)镻D平面PAD,故ABPD
(2)解:過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,連接PG.
故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中,
設(shè),則,故四棱錐P-ABCD的體積為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3e/8/19szd3.png" style="vertical-align:middle;" />
故當(dāng)時,即時,四棱錐的體積P-ABCD最大.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
故
設(shè)平面BPC的法向量,則由,得
解得
同理可求出平面DPC的法向量,從而平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為
考點(diǎn):面面垂直性質(zhì)定理,四棱錐體積,利用空間向量求二面角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱中-A BC中,AB AC, AB=AC=2,=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求平面與所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖平面SAC⊥平面ACB,ΔSAC是邊長為4的等邊三角形,ΔACB為直角三角形,∠ACB=90,BC=,求二面角S-AB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,∠ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.
(1)證明:AC1⊥A1B;
(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為,求二面角A1-AB-C的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面對角線AB1,BC1上分別有兩點(diǎn)E,F(xiàn),且B1E=C1F.求證:EF∥平面ABCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,,為圓柱的母線,是底面圓的直徑,,分別是,的中點(diǎn),.
(1)證明:;
(2)證明:;
(3)假設(shè)這是個大容器,有條體積可以忽略不計(jì)的小魚能在容器的任意地方游弋,如果魚游到四棱錐 內(nèi)會有被捕的危險,求魚被捕的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2011•浙江)如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(1)證明:AP⊥BC;
(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角A﹣MC﹣β為直二面角?若存在,求出AM的長;若不存在,請說明理由.
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