Question

已知點(diǎn)A（-2，3）在拋物線(xiàn)C：y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線(xiàn)BF的斜率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意先求出準(zhǔn)線(xiàn)方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出第一象限的拋物線(xiàn)方程，設(shè)出切點(diǎn)，并求導(dǎo)，得到切線(xiàn)AB的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式得到方程，解出方程求出切點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的斜率公式求出BF的斜率．

解答：解：∵點(diǎn)A（-2，3）在拋物線(xiàn)C：y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)上，
即準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=-2，
∴p＞0，-

p

2

=-2即p=4，
∴拋物線(xiàn)C：y²=8x，在第一象限的方程為y=2

2

x

，
設(shè)切點(diǎn)B（m，n），則n=2

2

m

，
又導(dǎo)數(shù)y′=2

2

•

1

2

•

1

x

，則在切點(diǎn)處的斜率為

2

m

，
∴

n-3

m+2

=

2

m

即

2

m+2

2

=2

2

m-3

m

，
解得

m

=2

2

（-

2

2

舍去），
∴切點(diǎn)B（8，8），又F（2，0），
∴直線(xiàn)BF的斜率為

8-0

8-2

=

4

3

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線(xiàn)的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率等，是一道基礎(chǔ)題．