Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（2，t）（t≠0），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為α，若f（α）=1，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）將f（x）展開，使用二倍角公式與和差公式化簡(jiǎn)；
（2）由f（α）=1解出α，結(jié)合圖形得出t．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ，或2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ．
∵α∈[0，π]，∴α=0，或α=π，或α=$\frac{π}{3}$．
若α=0，則$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}$，∴t=0（舍去）．若α=π，則$\frac{1}{2}=\frac{0}{t}＜0$，無解．若α=$\frac{π}{3}$，則$\frac{t}{2}$=tan$\frac{π}{3}$，或$\frac{t}{2}$=-tan$\frac{π}{3}$，解得t=2$\sqrt{3}$或t=-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與性質(zhì)，三角函數(shù)求值，屬于中檔題．