Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2b_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：$\frac{1}{{a}_{2}+{S}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}+{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}+{S}_{n}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）n=1時(shí)，a₁=S₁=1；n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2n-1（n∈N^*）；T_n=2b_n-1，求得b₁=1，再將n換為n-1，相減，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到b_n=2^n-1；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n+1}+{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1+{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）S_n=n²，可得n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
綜上可得a_n=2n-1（n∈N^*）；
T_n=2b_n-1，可得n=1時(shí)，b₁=T₁=2b₁-1，
解得b₁=1，當(dāng)n＞1時(shí)，T_n-1=2b_n-1-1，
可得b_n=2b_n-2b_n-1，
即為b_n=2b_n-1，
即有b_n=2^n-1；
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{n+1}+{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1+{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有$\frac{1}{{a}_{2}+{S}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}+{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}+{S}_{n}}$
＜$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．
則原不等式成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系：n=1時(shí)，a₁=S₁=1；n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．