Question

12．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），若P（ξ＞3）=a，P（1＜ξ≤3）=b，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），若P（ξ＞3）=a，P（1＜ξ≤3）=b，得出2a+b=1，a＞0．b＞0，再用“1”的代換，利用基本不等式，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），
所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對稱，所以P（ξ＞3）=P（ξ＜1）=a，
則有2a+b=1，a＞0．b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（2a+b）=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$，即b=$\sqrt{2}$a時，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．