【題目】已知橢圓的離心率為，過定點的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，C為橢圓的左頂點，當直線l過點時，（O為坐標原點）的面積為．

（1）求橢圓E的方程；

（2）求證：當直線l不過C點時，為定值．

【答案】（1）；（2）為定值.

【解析】

（1）根據題意可得，設，，由，得代入橢圓方程可得，進而可得橢圓的方程；

（2）根據題意，設，，直線的方程為，聯(lián)立方程，經計算可得，即可得到為定值.

（1）由題意，設，，直線的方程為，

由，即，

將點代入中，得，故，

又點在橢圓上，解得，

因橢圓的離心率，故，，

所以，橢圓的方程為.

（2）由題意，設直線的方程為，設，，

聯(lián)立，消去得，

所以，，

當直線不過時，直線的斜率，直線的斜率，

所以，

即直線與直線垂直，故為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是的中點，是上一點，且

（1）求證:平面；

（2）若求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著現(xiàn)代電子技術的迅猛發(fā)展，關于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學科——可靠性理論．在可靠性理論中，一個元件正常工作的概率稱為該元件的可靠性．元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性．現(xiàn)有（，）種電子元件，每種2個，每個元件的可靠性均為（）．當某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路．現(xiàn)要用這個元件組成一個電路系統(tǒng)，有如下兩種連接方案可供選擇，當且僅當從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作．

（1）（i）分別寫出按方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、（用和表示）；

（ii）比較與的大小，說明哪種連接方案更穩(wěn)定可靠；

（2）設，，已知按方案②建立的電路系統(tǒng)可以正常工作，記此時系統(tǒng)中損壞的元件個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，為正三角形，是的中點，過的平面平行于平面，且平面與平面的交線為，與平面的交線為．

（1）在圖中作出四邊形（不必說出作法和理由）；

（2）若，求平面與平面形成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求曲線與的公切線方程：

（2）若有兩個極值點，，且，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，試寫出方程根的個數(shù).(只需寫出結論)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別、，過的直線交雙曲線右支于，兩點.的平分線交于，若，則雙曲線的離心率為( )

A.B.2C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】目前，我國老年人口比例不斷上升，造成日趨嚴峻的人口老齡化問題.2019年10月12日，北京市老齡辦、市老齡協(xié)會聯(lián)合北京師范大學中國公益研究院發(fā)布《北京市老齡事業(yè)發(fā)展報告（2018）》，相關數(shù)據有如下圖表.規(guī)定年齡在15歲至59歲為“勞動年齡”，具備勞動力，60歲及以上年齡為“老年人”，據統(tǒng)計，2018年底北京市每2.4名勞動力撫養(yǎng)1名老年人.

（Ⅰ）請根據上述圖表計算北京市2018年戶籍總人口數(shù)和北京市2018年的勞動力數(shù)；（保留兩位小數(shù)）

（Ⅱ）從2014年起，北京市老齡人口與年份呈線性關系，比照2018年戶籍老年人人口年齡構成，預計到2020年年底，北京市90以上老人達到多少人？（精確到1人）

（附：對于一組數(shù)據其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，.，）

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