Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，（a∈R）
（1）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）＜x；
（2）若對(duì)?x∈（0，1]都有f（x）＜m（m∈R，m是常數(shù)），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題關(guān)鍵在對(duì)x進(jìn)行分類討論的基礎(chǔ)上，還要對(duì)a進(jìn)行討論
（2）若對(duì)?x∈（0，1]都有f（x）＜m（m∈R，m是常數(shù)），則知對(duì)?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

恒成立，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分別求出x-

m

x

，x+

m

x

的最大值，最小值，最后再對(duì)m討論得到最值，即可得到m的范圍

解答：解：（1）∵f（x）=x|x-a|，
∴不等式f（x）＜x即為x|x-a|＜x
1⁰顯然x≠0，
2⁰當(dāng)x＞0時(shí)原不等式可化為：|x-a|＜1⇒-1＜x-a＜1⇒a-1＜x＜a+1
當(dāng)a-1≥0即a≥1時(shí)得不等式的解為：a-1＜x＜a+1
當(dāng)a-1＜0即0＜a＜1時(shí)得不等式的解為：0＜x＜a+1
3⁰當(dāng)x＜0時(shí)原不等式可化為：|x-a|＞1⇒x-a＞1或x-a＜-1⇒x＞a+1或x＜a-1
當(dāng)a≥1時(shí)，得不等式的解為x＜0
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，得不等式的解為：x＜a-1
綜上得：當(dāng)a≥1時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜0}∪{x|a-1＜x＜a+1}
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜a-1}∪{x|0＜x＜a+1}
（2）∵對(duì)?x∈（0，1]都有f（x）＜m，顯然m＞0
即-m＜x（x-a）＜m⇒對(duì)?x∈（0，1]，-

m

x

＜x-a＜

m

x

恒成立⇒對(duì)?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

恒成立
設(shè)g（x）=x-

m

x

，x∈（0，1]，p（x）=x+

m

x

，x∈（0，1]
則對(duì)?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

恒成立?g（x）_max＜a＜p（x）_min，x∈（0，1]
∵g（x）'=1+

m

x2

，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)g（x）'＞0
∴函數(shù)g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴g（x）_max=1-m
又∵p（x）'=1-

m

x2

=

(x- m )(x+ m )

x2

，
當(dāng)

m

≥1即m≥1時(shí)，對(duì)于x∈（0，1]，p（x）'＜0
∴函數(shù)p（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
∴p（x）_min=p（1）=1+m
當(dāng)

m

＜1，即0＜m＜1時(shí)，
當(dāng)x∈(0，

m

]，p（x）'≤0
當(dāng)x∈(

m

，1]，p（x）'＞0
∴在（0，1]上，p(x)min=p(

m

)=2

m

（或當(dāng)0＜m＜1時(shí)，在（0，1]上，p（x）=x+

m

x

≥2

x• m x

=2

m

，當(dāng)x=

m

時(shí)取等號(hào)）
又∵當(dāng)0＜m＜1時(shí)，要g（x）_max＜a＜p（x）_min即1-m＜a＜2

m

還需滿足2

m

＞1-m解得3-2

2

＜m＜1
∴當(dāng)3-2

2

＜m＜1時(shí)，1-m＜a＜2

m

；
當(dāng)m≥1時(shí)，1-m＜a＜1+m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一元二次不等式的解法，另外分類討論也是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．