（本大題14分）

已知函數(shù)定義域為，且滿足.

（Ⅰ）求解析式及最小值；

（Ⅱ）求證：，。        

（Ⅲ）設(shè)。求證：，.

 

【答案】

（1），

  （2）見解析；（3）

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）求解導(dǎo)數(shù)，然后判定單調(diào)性，然后分析最值。

（2）求解導(dǎo)數(shù)可知

（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析最值，進而證明不等式。

解：（1），

  （2）求導(dǎo)可知：

（3），

   故，令

   求導(dǎo)易知最大值為，而，且

   故

 

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（本小題14分）

已知橢圓的一個頂點為，離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，

     求△AOB面積的最大值．

 

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（本小題14分）

已知函數(shù)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷，定義：

，，其中表示函數(shù)在D上的最小值，表示函數(shù)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”

（1）若，試寫出，的表達式；

（2）已知函數(shù)試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”，

如果是，求出對應(yīng)的k，如果不是，請說明理由；

已知，函數(shù)是[0,b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍

 

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（本大題14分）已知是函數(shù)的一個極值點，其中，

（I）求與的關(guān)系式；

（II）求的單調(diào)區(qū)間；

（III）當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍.

 

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