Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦、余弦公式，可將f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)化為f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x，再利用輔助角公式整理為f(x)= sin(2x-

π

6

)，從而可求得最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）由x∈[0，

π

2

]，可求得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5

6

π，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π．
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得：x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
（2）0≤x≤

π

2

∴0≤2x≤π
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5

6

π∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
∴值域為[-

1

2

，1]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦與余弦，關(guān)鍵在于掌握兩角和與差的正弦與余弦公式并靈活運用，屬于中檔題．