Question

已知三邊長分別為4、5、6的△ABC的外接圓恰好是球O的一個大圓，P為球面上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到△ABC的三個頂點(diǎn)的距離相等，則三棱錐P-ABC的體積為

10

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，三棱錐的高是球的半徑，而底面三角形的外接圓是球O的一個大圓，此關(guān)系使得求三棱錐P-ABC的體積時無需再考慮求球的半徑，因其在求解中正好可以消去，使得此幾何體的體積只與三角形的邊長有關(guān)．

解答：解：P在面ABC上的射影為O，則OA=OB=OC=OP=R，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

abc

4R

∴V_P-ABC=

1

3

S_ABCR=

abc

12

=10．
故答案為：10

點(diǎn)評：本題球內(nèi)接多面體的幾何特征，以及利用這些幾何特征靈活組合達(dá)到簡化解題的目的，考查空間想象能力與計(jì)算能力．