Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，且滿足S_n=1-a_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=1-a_n與S_n-1=1-a_n-1作差可知a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，進(jìn)而利用錯位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=1-a_n，S_n-1=1-a_n-1，
∴a_n=a_n-1-a_n，即a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
又∵S₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）由（1）可知b_n=（n+1）a_n=（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+4•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+1）$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（n+1）$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．