Question

20．如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，側面AEB為等腰直角三角形，∠AEB=$\frac{π}{2}$，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC
（1）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（2）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出$\frac{EF}{EA}$；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）可知∠CEB即為直線EC與平面ABE所成的角，
設BC=a，則AB=2a，BE=$\sqrt{2}a$，得CE=$\sqrt{3}a$，則直角三角形CBE中，sin∠CEB=$\frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）連接AC、BD交于點，推出EC∥FM．通過△DMC與△BMA相似，然后求解EF即可．

解答 解：（1）因為平面ABE⊥底面ABCD，且AB⊥BC，
所以BC⊥平面ABE，則∠CEB即為直線EC與平面ABE所成的角，
設BC=a，則AB=2a，BE=$\sqrt{2}a$，所以CE=$\sqrt{3}a$，
則直角三角形CBE中，sin∠CEB=$\frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）存在點F，且$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$時，有EC∥平面FBD，
證明如下：解：連接AC、BD交于點M，面ACE∩面FBD=FM．
因為EC∥平面FBD，所以EC∥FM．
在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，
即點F滿足$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$時，有EC∥平面FBD．

點評 本題考查了直線與平面平行的判定定理的應用、線面角的求解，考查空間想象能力以及邏輯推理能力、轉化思想的應用．