【題目】已知函數(shù) ,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線斜率;

(2)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值,且極小值大于

【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)可得,故,即曲線在點(diǎn)處的切線斜率;(2)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),可得存在使得,使得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上有極小值,設(shè), ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得上單調(diào)遞減,所以.

試題解析:(1)依題意, , ,故,

即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為;

證明:(2)因?yàn)?/span>,所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),

因?yàn)?/span>,

所以使得,

所以 ; ,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以在區(qū)間上有極小值

因?yàn)?/span>,所以

設(shè) ,

,所以,

上單調(diào)遞減,所以,

,故當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值,且極小值大于

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加考試,在正式考試之前進(jìn)行了十次模擬測(cè)試,測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

甲:137,121,131,120,129119,132123,125133

乙:110,130147,127,146114,126,110,144,146

1畫(huà)出甲、乙兩人成績(jī)的莖葉圖,求出甲同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差,并根據(jù)莖葉圖,寫(xiě)出甲、乙兩位同學(xué)平均成績(jī)以及兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論;

2規(guī)定成績(jī)超過(guò)127為“良好”,現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績(jī)中各隨機(jī)選出一個(gè),求選出成績(jī)“良好”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(注:方差,其中的平均數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn), 處切線的斜率分別是, ,規(guī)定為線段的長(zhǎng)度)叫做曲線在點(diǎn)之間的“彎曲度”,給出以下命題:

①函數(shù)圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和2,則;

②存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù);

③設(shè)點(diǎn), 是拋物線上不同的兩點(diǎn),則;

④設(shè)曲線是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上不同兩點(diǎn), ,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

其中真命題的序號(hào)為__________.(將所有真命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)axln(x1),其中a為常數(shù).

(1)試討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a時(shí),存在x使得不等式成立,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)Air Pollution Index)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

大于300

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕微污染

輕度污染

中度污染

中度重

污染

重度污染

天數(shù)

10

15

20

30

7

6

12

(Ⅰ)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有7天為重度污染,完成下面列聯(lián)表并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)?

非重度污染

重度污染

合計(jì)

供暖季

非供暖季

合計(jì)

100

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附:

(Ⅱ)政府要治理污染,決定對(duì)某些企業(yè)生產(chǎn)進(jìn)行管控,當(dāng)在區(qū)間時(shí)企業(yè)正常生產(chǎn)當(dāng)在區(qū)間時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)(即關(guān)閉的產(chǎn)能),當(dāng)在區(qū)間時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn),當(dāng)300以上時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn),企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一,若企業(yè)甲正常生產(chǎn)一天可得利潤(rùn)2萬(wàn)元,若以頻率當(dāng)概率,不考慮其他因素:

①在這一年中隨意抽取5天,求5天中企業(yè)被限產(chǎn)達(dá)到或超過(guò)的恰為2天的概率;

②求企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤(rùn)的期望值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】本小題12分如圖,在海岸線一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng),游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段,該曲線段是函數(shù),的圖像,圖像的最高點(diǎn)為邊界的中間部分為長(zhǎng)千米的直線段,且游樂(lè)場(chǎng)的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧

1求曲線段的函數(shù)表達(dá)式;

2曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米,現(xiàn)準(zhǔn)備從入口修一條筆直的景觀路到,求景觀路長(zhǎng);

3如圖,在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū),平行四邊形的一邊在海岸線上,一邊在半徑上,另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上,且,求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時(shí)的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,且 .

(Ⅰ)設(shè) ,求的單調(diào)區(qū)間及極值;

(Ⅱ)證明:函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,拋物線和圓直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),依次交拋物線與圓四點(diǎn), ,的值為(

A. B. C. 1 D.

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