Question

15．已知三點(diǎn)A（0，2），B（-3，0），C（4，0），矩形EFGH的頂點(diǎn)E、H分別在△ABC的邊AB、AC上，F(xiàn)、G都在邊BC上，不管矩形EFGH如何變化，它的對(duì)角線EG、HF的交點(diǎn)P恒在一條定直線l上，那么直線l的方程是2x+y-1=0．

Answer 1

分析 因?yàn)椴还芫匦蜤FGH如何變化，它的對(duì)角線EG、HF的交點(diǎn)P恒在一條定直線l上，故取兩種特殊情況分別求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線l的方程，方法是：E和H分別為|AB|和|AC|的中點(diǎn)或三等份點(diǎn)，分別求出E、F、G、H四點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用相似得到相應(yīng)的P點(diǎn)、P′點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P和P′的坐標(biāo)寫出直線方程即為定直線l的方程．

解答 解：①∵三點(diǎn)A（0，2），B（-3，0），C（4，0），
當(dāng)E、H分別為|AB|和|AC|的中點(diǎn)時(shí)，
∴E（-$\frac{3}{2}$，1 ），F(xiàn)（-$\frac{3}{2}$，0），H（2，-$\frac{3}{2}$ ），
G（ 2，0）
則|PQ|=$\frac{1}{2}$，|FQ|=|EH|=|BC|=7，|FO|=1，
∴|OQ|=|FQ|-|OF|=$\frac{1}{4}$×7-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$，∴P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
②當(dāng)E、H分別為|AB|和|AC|的三等分點(diǎn)時(shí)，
E（-1，$\frac{4}{3}$），F(xiàn)（-1，0），H（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），G（$\frac{4}{3}$，0），
則|PQ|=$\frac{2}{3}$，|FQ|=$\frac{1}{2}$|EH|=$\frac{1}{6}$|BC|=$\frac{7}{6}$，|FO|=1，
∴|OQ|=|FQ|-|OF|=$\frac{1}{6}$×7+（-1）=$\frac{1}{6}$，∴P′（ $\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$），
∴直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}-\frac{1}{4}}$（x-$\frac{1}{4}$），
化簡(jiǎn)，得2x+y-1=0．
故答案為：2x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形相似得比例解決數(shù)學(xué)問題，會(huì)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的一般式方程，是一道中檔題．