Question

在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn),G為上底面A₁B₁C₁D₁的中心.

(1)求AD與BG所成角的余弦值;

(2)求二面角B-FB₁-E的大小;

(3)求點(diǎn)D到平面B₁EF的距離.

Answer 1

解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz.?

則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),F(,a,0),B₁(a,a,a),G(,,a).

?

(1)∵=(-a,0,0),=(-,-,a),?

∴cos〈,〉===.?

∴AD與BG所成角的余弦值為.                                                                       ?

(2)設(shè)平面B₁EF的法向量為n₁=(x,y,z).?

∵=(-,,0),=(0, ,a),?

∴n₁·=0,n₁·=0.?

∴

取y=2,則x=2,z=-1.∴可取n₁=(2,2,-1).顯然DC⊥平面BFB₁.?

∴可取平面BFB₁的法向量n₂=(0,1,0).?

∴cos〈n₁,n₂〉===.?

∴所求二面角的大小為arccos.                                                                            ?

(3)由(2)已求平面B₁EF的法向量n₁=(2,2,-1),又=(a,a,a),?

∴點(diǎn)D到平面B₁EF的距離D===a.?

∴點(diǎn)D到平面B₁EF的距離為a.