Question

3．已知A，B，C是△ABC的三內(nèi)角，y=tan$\frac{A}{2}$+$\frac{2cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}+cos\frac{B-C}{2}}$若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 利用誘導公式對y的表達式進行化簡整理求得y=$tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}$，進而可推斷出任意交換兩個角的位置，y的值均不變化．

解答 解：∵A，B，C是△ABC的三內(nèi)角，∴A+B+C=π，
則$\frac{A}{2}=\frac{π}{2}-\frac{B+C}{2}$．
∴y=tan$\frac{A}{2}$+$\frac{2cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}+cos\frac{B-C}{2}}$
=$tan\frac{A}{2}$+$\frac{2cos（\frac{π}{2}-\frac{B+C}{2}）}{sin（\frac{π}{2}-\frac{B+C}{2}）+cos\frac{B-C}{2}}$
=tan$\frac{A}{2}$+$\frac{2（sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}）}{2cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$
=$tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}$．
∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化．

點評 本題主要考查三角恒等式的證明，考查利用誘導公式化簡求值，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．是中檔題．