【題目】已知函數(shù)f(x)= x3+ax2﹣bx(a,b∈R),若y=f(x)圖象上的點(1,﹣ )處的切線斜率為﹣4,
(1)求f(x)的表達(dá)式.
(2)求y=f(x)在區(qū)間[﹣3,6]上的最值.

【答案】
(1)解:∵f(x)= x3+ax2﹣bx,

∴f′(x)=x2+2ax﹣b,

∵y=f(x)圖象上的點(1,﹣ )處的切線斜率為﹣4,

∴f′(1)=﹣4,f(1)=﹣ ,

∴1+2a﹣b=﹣4.①, +a﹣b=- ,即a﹣b+4=0.②

由①②解得a=﹣1,b=3,

∴f(x)= x3﹣x2﹣3x


(2)解:∵f(x)= x3﹣x2﹣3x.

∴f′(x)=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1).

令f′(x)=0,解得x=﹣1或3.

∴在x∈[﹣3,6]上,當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

﹣3

(﹣3,﹣1)

﹣1

(﹣1,3)

3

(3,6)

6

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

﹣9

單調(diào)遞增↗

極大值

單調(diào)遞減↘

極小值﹣9

單調(diào)遞增↗

18

∴當(dāng)x∈[﹣3,6]時,f(x)max=f(6)=18,

f(x)min=f(3)=f(﹣3)=﹣9


【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,建立方程關(guān)系即可求f(x)的表達(dá)式.(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,即可求y=f(x)在區(qū)間[﹣3,6]上的最值.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(天)

頻數(shù)

頻率

合計

(1)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù),寫出的值;

(2)某人從這個燈泡中隨機(jī)地購買了個,求此燈泡恰好不是次品的概率;

(3)某人從這批燈泡中隨機(jī)地購買了個,如果這個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同,求的最小值.

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①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是_________.

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù),則p1,p2p3中最大的是_________.

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(3)
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