Question

設無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn． (1) 若首項a1＝，公差d＝1，求滿足Sk2＝(Sk)2的正整數(shù)k (2) 求所有的無窮等差數(shù)列｛an｝，使得對于一切正整數(shù)k都有Sk2＝(Sk)2成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：當a1＝，d＝1時，Sn＝na1｜d＝n＋＝n2＋n． 　　由Sk2＝(Sk)2，得k4＋k2＝(k2＋k)2，即k3(k－1)＝0．又k≠0，所以k＝4．

(2)

方法一　設數(shù)列｛an｝的公差為d，則在Sk2＝(Sk)2中分別取k＝l，2，得即 　　由①得a1＝0或a1＝1． 　　當a1＝0時，代入②得d＝0或d＝6． 　　若a1＝0．d＝0，則an＝0．Sn＝0，從而Sk2＝(Sk)2成立 　　若a1＝0，d＝6，則an＝6(n－1)．由S3＝18，(S3)2＝324，S9＝216知S9≠(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意． 　　當a1＝1時，代入②得4＋6d＝(2＋d)2，解得d＝0或d＝2． 　　若a1＝1，d＝0，則an＝1，Sn＝n．從而Sk2＝(Sk)2成立 　　若a1＝1，d＝2，則an＝2n－1，Sn＝n2，從而Sk2＝(Sk)2成立． 　　綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列： 　�、伲鸻n｝：an＝0，即0，0，0，… 　�、冢鸻n｝：an＝1，即1，l，1，… 　�、郏鸻n｝：an＝2n－1，即1，3，5，… 　　方法二　設數(shù)列｛an｝的公差為d，則在Sk2＝(Sk)2中取k＝1時，有S1＝(S1)2即a1＝，解得a1＝0或a1＝1． 　　當a1＝0時，Sn＝d．要使Sk2＝(Sk)2對于一切正整數(shù)k都成立 　　即d＝d2對于一切正整數(shù)k都成立，整理得(2d－d2)k4＋2d2k3－(2d－d2)k2＝0，所以只須，　　即d＝0． 　　當a1＝1時，Sn＝n＋d，要使Sk2＝(Sk)2對于一切正整數(shù)k都成立， 　　即k2＋d＝對于一切正整數(shù)k都成立，整理得 　　(2d－d2)k2＋(2d2－4d)k＋(2d－d2)＝0． 　　所以只須即d＝0或d＝2． 　　綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列： 　�、伲鸻n｝：an＝0，即0，0，0，… 　�、冢鸻n｝：an＝1，即1，1，1，… 　�、郏鸻n｝：an＝2n－1，即l，3，5，… 　　方法三：設數(shù)列｛an｝的公差為d，要使Sk2＝(Sk)2對于一切正整數(shù)k都成立，即k2a1＋d＝，整理得(2d－d2)k2＋(2d2－4a1d)k＋4a1－－2d＋4a1d－d2＝0． 　　所以只須解得d＝0或d＝2． 　　當d＝0時，a1＝0或a1＝1；當d＝2時，a1＝1． 　　綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列： 　�、伲鸻n｝：an＝0，即0，0，0，… 　　②｛an｝：an＝1，即1，1，1，… 　�、郏鸻n｝：an＝2n－1，即l，3，5… 　　點評：本題的求解重在將問題直接翻譯，即將數(shù)學語言用數(shù)學符號來表示．第(2)問的求解過程體現(xiàn)了問題求解的幾種思想：方法一是利用特殊思想解決一般問題，要注意檢驗；方法二是根據(jù)實際情形，部分內(nèi)容采用特殊思想；方法三是利用一般方法直接求解，然后由多項式的恒等知識解決問題．要注意含字母問題的計算，以防漏解，如對公差d＝0，公比q＝1要考慮全面．