Question

6．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求證：EF∥BC；
（Ⅱ）求直線DE與平面BCFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD∥BC，即可證明BC∥面ADEF，然后證明EF∥BC．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取CD的中點M，連OM，EM．易證EM⊥平面ABCD．求出設(shè)面BCFE的法向量，設(shè)$\overrightarrow{DF}$與$\overrightarrow{n_0}$所成角為φ，直線DE與面BCEF所成角為θ．通過sinθ=|cosφ|，求解直線EF與平面BCEF所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）因為四邊形ABCD為菱形
所以AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF
所以BC∥面ADEF且面ADEF∩面BCEF=EF
所以EF∥BC．-----------------------------（6分）
（Ⅱ）因為FO⊥面ABCD
所以FO⊥AO，F(xiàn)O⊥OB
又因為OB⊥AO
以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

取CD的中點M，連OM，EM．易證EM⊥平面ABCD．
又因為BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各點坐標(biāo)：$B（0，1，0），C（-\sqrt{3}，0，0），D（0，-1，0），F(xiàn)（0，0，\sqrt{3}），E（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$
向量$\overrightarrow{DE}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$，向量$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，向量$\overrightarrow{BF}=（0，-1，\sqrt{3}）$
設(shè)面BCFE的法向量為：$\overrightarrow{n_0}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x_0}-{y_0}=0\\-{y_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\end{array}\right.$
令${y_0}=\sqrt{3}$時$\overrightarrow{n_0}=（-1，\sqrt{3}，1）$
設(shè)$\overrightarrow{DF}$與$\overrightarrow{n_0}$所成角為φ，直線DE與面BCEF所成角為θ．sinθ=|cosφ|=$\frac{{|\overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{DE}|}}{{|\overrightarrow{n_0}|•|\overrightarrow{DE}|}}$=$\frac{{|（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）×（-1）+\frac{1}{2}×\sqrt{3}+\sqrt{3}×1|}}{{\sqrt{{{（-1）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（1）}^2}}•\sqrt{{{（\frac{{-\sqrt{3}}}{2}）}^2}+{{（\frac{1}{2}）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
直線EF與平面BCEF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．-----------------------（13分）

點評 本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查計算能力．