分析 (Ⅰ)證明AD∥BC,即可證明BC∥面ADEF,然后證明EF∥BC.
(Ⅱ)以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OF分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,取CD的中點M,連OM,EM.易證EM⊥平面ABCD.求出設(shè)面BCFE的法向量,設(shè)→DF與→n0所成角為φ,直線DE與面BCEF所成角為θ.通過sinθ=|cosφ|,求解直線EF與平面BCEF所成角的正弦值即可.
解答 解:(Ⅰ)因為四邊形ABCD為菱形
所以AD∥BC,且BC?面ADEF,AD?面ADEF
所以BC∥面ADEF且面ADEF∩面BCEF=EF
所以EF∥BC.-----------------------------(6分)
(Ⅱ)因為FO⊥面ABCD
所以FO⊥AO,F(xiàn)O⊥OB
又因為OB⊥AO
以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OF分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,
取CD的中點M,連OM,EM.易證EM⊥平面ABCD.
又因為BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各點坐標:B(0,1,0),C(−√3,0,0),D(0,−1,0),F(xiàn)(0,0,√3),E(−√32,−12,√3)
向量→DE=(−√32,12,√3),向量→BC=(−√3,−1,0),向量→BF=(0,−1,√3)
設(shè)面BCFE的法向量為:→n0=(x0,y0,z0),{→n0•→BC=0→n0•→BF=0,得到{−√3x0−y0=0−y0+√3z0=0
令y0=√3時→n0=(−1,√3,1)
設(shè)→DF與→n0所成角為φ,直線DE與面BCEF所成角為θ.sinθ=|cosφ|=|→n0•→DE||→n0|•|→DE|=|(−√32)×(−1)+12×√3+√3×1|√(−1)2+(√3)2+(1)2•√(−√32)2+(12)2+(√3)2=√155
直線EF與平面BCEF所成角的正弦值為√155.-----------------------(13分)
點評 本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用,直線與平面所成角的求法,考查計算能力.
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t | 0 | t0 | 2t0 | 3t0 | 4t0 | 5t0 | 6t0 | 7t0 | 8t0 | 9t0 | 10t0 | 11t0 | 12t0 |
y | -20.0 | -17.8 | -10.1 | 0.1 | 10.3 | 17.1 | 20.0 | 17.7 | 10.3 | 0.1 | -10.1 | -17.8 | -20.0 |
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A. | 3 | B. | 32 | C. | 2 | D. | 52 |
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