Question

16．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y≤1\end{array}\right.$，z=2x+y的最大值為m，若正數(shù)a，b滿足a+b=m，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得m，再利用基本不等式求得最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y≤1\end{array}\right.$，作出可行域如圖，

A（3，0），
化目標函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z，
由圖可知，當直線y=-2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2×3=6．
即a+b=6，$\frac{2}{3}a+\frac{6}=1$，
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）（$\frac{2}{3}a+\frac{6}$）=$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{2a}{3b}+\frac{6a}≥\frac{5}{6}+2\sqrt{\frac{2a}{3b}•\frac{6a}}$=$\frac{3}{2}$．
當且僅當$\frac{2a}{3b}=\frac{6a}$，即b=2a，也就是a=1，b=2時取等號．
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．