Question

北京市各級(jí)各類中小學(xué)每年都要進(jìn)行“學(xué)生體質(zhì)健康測試”，測試總成績滿分為100分，規(guī)定測試成績?cè)赱85，100]之間為體質(zhì)優(yōu)秀；在[75，85）之間為體質(zhì)良好；在[60，75）之間為體質(zhì)合格；在[0，60）之間為體質(zhì)不合格．現(xiàn)從某校高三年級(jí)的300名學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生體質(zhì)健康測試成績，其莖葉圖如圖：

9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

（Ⅰ）試估計(jì)該校高三年級(jí)體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)以上30名學(xué)生體質(zhì)健康測試成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質(zhì)為優(yōu)秀和良好的學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中選出3人；
（�。┣笤谶x出的3名學(xué)生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率；
（ⅱ）求選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計(jì)該校高三學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有

10

30

×300人．
（Ⅱ）依題意，體質(zhì)為良好和優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為

15

10

=

3

2

．即可從體質(zhì)為良好的學(xué)生中抽取的人數(shù)為

3

5

×5，從體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生中抽取的人數(shù)

2

5

×5．
（ⅰ）設(shè)在抽取的5名學(xué)生中體質(zhì)為良好的學(xué)生為a₁，a₂，a₃，體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生為b₁，b₂．
則從5名學(xué)生中任選3人的基本事件有（a₁，a₂，a₃），（a₁，a₂，b₁），（a₁，a₂，b₂），（a₁，a₃，b₁），（a₁，a₃，b₂），（a₂，a₃，b₁），（a₂，a₃，b₂），（a₁，b₁，b₂），（a₂，b₁，b₂），（a₃，b₁，b₂）共10個(gè)，其中“至少有1名學(xué)生體質(zhì)為優(yōu)秀”的事件有9個(gè)．即可得出在選出的3名學(xué)生中至少有1名學(xué)生體質(zhì)為優(yōu)秀的概率．
（ⅱ）“選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)”的事件有（a₁，b₁，b₂），（a₂，b₁，b₂），（a₃，b₁，b₂）共3個(gè)．即可得出選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的概率．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計(jì)該校高三學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有

10

30

×300=100人．
（Ⅱ）依題意，體質(zhì)為良好和優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為 

15

10

=

3

2

．
∴從體質(zhì)為良好的學(xué)生中抽取的人數(shù)為

3

5

×5=3，從體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生中抽取的人數(shù)

2

5

×5=2．
（�。┰O(shè)在抽取的5名學(xué)生中體質(zhì)為良好的學(xué)生為a₁，a₂，a₃，體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生為b₁，b₂．
則從5名學(xué)生中任選3人的基本事件有（a₁，a₂，a₃），（a₁，a₂，b₁），（a₁，a₂，b₂），（a₁，a₃，b₁），（a₁，a₃，b₂），（a₂，a₃，b₁），（a₂，a₃，b₂），（a₁，b₁，b₂），（a₂，b₁，b₂），（a₃，b₁，b₂）共10個(gè)，其中“至少有1名學(xué)生體質(zhì)為優(yōu)秀”的事件有（a₁，a₂，b₁），（a₁，a₂，b₂），（a₁，a₃，b₁），（a₁，a₃，b₂），（a₂，a₃，b₁），（a₂，a₃，b₂），（a₁，b₁，b₂），（a₂，b₁，b₂），（a₃，b₁，b₂）共9個(gè)．
∴在選出的3名學(xué)生中至少有1名學(xué)生體質(zhì)為優(yōu)秀的概率為

9

10

．
（ⅱ）“選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)”的事件有（a₁，b₁，b₂），（a₂，b₁，b₂），（a₃，b₁，b₂）共3個(gè)．
∴選出的3名學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的概率為

3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“列舉法”求古典概型的概率計(jì)算、莖葉圖，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．