Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x-7，其導函數(shù)為f′（x）．
①f（x）的單調(diào)減區(qū)間是；
②f（x）的極小值是-15；
③當a＞2時，對任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函數(shù)f（x）滿足
其中假命題的個數(shù)為

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

C
分析：由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x，x₂=2．列表討論，知①錯誤，②正確；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正確；由f（x）=x³-2x²-4x-7，知函數(shù)f（x）不滿足，故④不正確．
解答：∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x，x₂=2．
列表討論
x （-∞，-）- （-，2） 2（2，+∞） f′（x）- 0- 0+ f（x）↓ ↓ 極小值↑∴減區(qū)間為（-∞，2]，增區(qū)間為[2，+∞），
當x=2時，函數(shù)有極小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①錯誤，②正確；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正確；
∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴函數(shù)f（x）不滿足，
故④不正確，
故選C．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，考查不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．