Question

現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視的一檔應(yīng)聘節(jié)目，若甲應(yīng)聘成功的概率為

1

2

，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為

t

2

（0＜t＜2），且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人應(yīng)聘成功的概率等于甲應(yīng)聘成功的概率，求t的值；
（Ⅱ）若t=

1

2

，求三人中恰有兩人應(yīng)聘成功的概率；
（Ⅲ）記應(yīng)聘成功的人數(shù)為ξ，若當(dāng)且僅當(dāng)ξ=2時(shí)對(duì)應(yīng)的概率最大，求E（ξ）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意得2×

t

2

(1-

t

2

)=

1

2

，由此能求出t的值．
（Ⅱ）t=

1

2

時(shí)，甲應(yīng)聘成功的概率為

1

2

，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為

1

4

，由此利用相互獨(dú)立事件乘法公式能求出三人中恰有兩人應(yīng)聘成功的概率．
（Ⅲ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E（ξ）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲應(yīng)聘成功的概率為

1

2

，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為

t

2

（0＜t＜2），
且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的．
乙、丙有且只有一人應(yīng)聘成功的概率等于甲應(yīng)聘成功的概率，
∴由題意得2×

t

2

(1-

t

2

)=

1

2

，
解得t=1．
（Ⅱ）t=

1

2

時(shí)，甲應(yīng)聘成功的概率為

1

2

，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為

1

4

，
∴三人中恰有兩人應(yīng)聘成功的概率：
P=

1

2

×

1

4

×(1-

1

4

)+

1

2

×(1-

1

4

)×

1

4

+(1-

1

2

)×(

1

4

)2=

7

32

．
（Ⅲ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

1

2

）（1-

t

2

）（1-

t

2

）=

(2-t)2

8

，
P（ξ=1）=

1

2

(1-

t

2

)(1-

t

2

)+(1-

1

2

)×

t

2

×(1-

t

2

)+(1-

1

2

)(1-

t

2

)×

t

2

=

4-t2

8

，
P（ξ=2）=

1

2

×

t

2

(1-

t

2

)+

1

2

(1-

t

2

)×

t

2

+（1-

1

2

）×

t

2

×

t

2

=

4t-t2

8

，
P（ξ=3）=

1

2

×

t

2

×

t

2

=

t2

8

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	(2-t)2 8	4-t2 8	4t-t2 8	t2 8

Eξ=0×

(2-t)2

8

+1×

4-t2

8

+2×

4t-t2

8

+3×

t2

8

=t+

1

2

，
由題意知P（ξ=2）-P（ξ=1）=

t-1

2

＞0，
P（ξ=2）-P（ξ=0）=

-t2+4t-2

4

＞0，
P（ξ=2）-P（ξ=3）=

2t-t2

4

＞0，
又0＜t＜2，∴1＜t＜2，
∴

3

2

＜E（ξ）＜

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．